WikiSort.ru - Шахматы и шашки

Расстояние городских кварталов — метрика, введённая Германом Минковским. Согласно этой метрике, расстояние между двумя точками равно сумме модулей разностей их координат.

У этой метрики много имён. Расстояние городских кварталов также известно как манхэттенское расстояние, метрика прямоугольного города, метрика L1 или норма ${\displaystyle \ell _{1}}$ (см. пространство L^p), метрика городского квартала, метрика такси, метрика Манхэттена, прямоугольная метрика, метрика прямого угла; на ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ её называют метрикой гриды и 4-метрикой^[1][2][3].

Название «манхэттенское расстояние» связано с уличной планировкой Манхэттена^[4].

Формальное определение

Расстояние городских кварталов ${\displaystyle d_{1}}$ между двумя векторами ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ в n-мерном вещественном векторном пространстве с заданной системой координат — сумма длин проекций отрезка между точками на оси координат. Более формально,

${\displaystyle d_{1}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|,}$

где

${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ и ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$

— векторы.

Например, на плоскости расстояние городских кварталов между ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ и ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ равно ${\displaystyle |p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|.}$

Свойства

Манхэттенское расстояние зависит от вращения системы координат, но не зависит от отражения относительно оси координат или переноса. В геометрии, основанной на манхэттенском расстоянии, выполняются все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы о конгруэнтных треугольниках.

Для трёхмерного пространства, шар в этой метрике имеет форму октаэдра, вершины которого лежат на осях координат.

Примеры

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

Манхэттенское расстояние между двумя полями шахматной доски равно минимальному количеству ходов, которое необходимо визирю, чтобы перейти из одного поля в другое.

См. также

• Нормированное векторное пространство
• Метрика
• Расстояние Хэмминга
• Расстояние Чебышёва
• Французская железнодорожная метрика
• Игра в 15
• Случайное блуждание
• Матрица расстояний

Примечания

1. ↑ Елена Деза, Мишель Мари Деза. Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях. 19.1. Метрики на действительной плоскости // Энциклопедический словарь расстояний = Dictionary of Distances. — М: Наука, 2008. — С. 276. — ISBN 978-5-02-036043-3.
2. ↑ Кластерный анализ: Меры расстояния
3. ↑ Manhattan distance
4. ↑ City Block Distance. Spotfire Technology Network.
5. ↑ История компьютера: Эвристические функции
6. ↑ Weisstein, Eric W. von Neumann Neighborhood (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Eugene F. Krause. Taxicab Geometry. — Dover, 1987. — ISBN 0-486-25202-7.

Ссылки

• city-block metric on PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Taxicab Metric (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Manhattan distance. Paul E. Black, Dictionary of Algorithms and Data Structures, NIST
• Taxi! - AMS column about Taxicab geometry
• TaxicabGeometry.net - a website dedicated to taxicab geometry research and information